虚数单位I最常见的定义是=i，也有定义=-1，(这个我比较喜欢)。注意，对于负实值的平方根，或任何根，当涉及到下列乘积时，必须小心:
这显然是错误的；应该是。=-1.这里有一个限制:取两个负实数的平方根的乘积时，每个因子在相乘前都要转换成复数。这个转换看起来像这样:
复数有实部和复部。比如复数z=a bi有a的实部和b的虚部，可以写成re (z) = a，im (z) = b，如果一个复数的实部是0，那么这个数就是纯虚数。像7这样的数是一个普通的复数，它的虚部是0。你可以在有实轴和虚轴的复平面上画复数。这种bi形式也被称为复数的矩形形式。
在数字系统方面，n⊂z⊂q⊂r；；是复数的超集。它们是独一无二的，有现实世界的应用，就像复数做实数做不到的事情一样。复数的 *** 类似于实数R的 *** ，有序实对(你可以把每个复数看成是它的实部和虚部的有序对)。但是复数的一个基本优势超过了实数，那就是求复数的乘积非常简单，结果是另一个复数；试图找到两个有序实数对的乘积是非常复杂的。
在现实世界中，复数的应用出现在二维流体力学中，或者在工程中代表一个平面的旋转，因为复数提供了一个二维系统的精彩表达。
基础算术:复数的求和、模数和共轭
计算复数的和很简单:你只需要把它们的实部和虚部相加。例如:I(43 7i)(1234 I)=(43 12)I(734)= 6527 I。换句话说，Z1 Z2 =(Re(Z1)(Z2)]I[IM(Z1)IM(Z2)]。你只是把I作为其他正则代数变量，加上类似的项。更直观的解释方法是用复数的向量。当两个复数相加时，你在求两个向量的和:你将一个向量的底部平移到另一个向量的顶部。
复数的绝对值/半径/模数是一个数在复平面原点的位置。利用距离公式，我们得到复数z=a bi的模r为r=。| z1z2 |是两个复数的绝对值，表示复平面上两个复数点之间的距离。这样的等式| z (34i) | = 3表示距离为3 4i 3个单位的所有复数的 *** 。解可以画成一个圆。
复数z=a bi的共轭，用z-表示，等于a-bi。换句话说，它是一个反映在实轴上的复数。它的性质是，如果你取一个复数和它的共轭的乘积，你总是得到模的平方。事实上，这是计算平方和的公式:
复数有很多性质；以下是一些例子:
下面是一个众所周知的定理的例子，它涉及利用共轭性质的多项式:
复共轭定理:给定多项式P(x)，若a bi是该多项式的根，则a-bi必也是该根。
复数的极坐标形式
到目前为止，我们一直在考虑复数的实部和虚部。还有一种表达复数的方式，在某些情况下更有用。它使用复数的模数和它的自变量(从右x轴到指向复数的向量)。下图中，R是模数和振幅角。换句话说，lzl=r，θ=arctan(y/x)。
所以复数可以写成:
复数还有一种极坐标形式:
可以用来推导著名的欧拉公式。请看复数的欧拉公式。
下面是如何利用复数的极坐标形式方便地做复数的乘除乘和开方。
