蒙娜丽莎的微笑，玛丽·卢·雷顿的奥林匹克跳马，玛丽亚·凯莉的音乐风格。这些都被认为是完美的。数字6和28也是！
在艺术和体育中，完美存在于观察者的眼中。但是对于数字来说，完美是有数学定义的。“完全数(完全数，完全数)”等于其所有真因子(即除自身以外的约数)之和(即因子函数)。比如6 = 3 2 1；28 = 14 7 4 2 1。他们提供了不可抗拒的东西:一个完美的谜。
欧几里德在2000多年前就提出了完全数的基础知识。他知道前四个完全数是6，28，496和8128。从那以后，人们发现了更多的完全数。但奇怪的是，都是偶数。没有人能找到一个奇数完全数。经过几千年不成功的探索，人们可能会得出这样的结论:奇数完全数不存在。但是数学家也无法证明。为什么我们对偶数了解这么多却不能回答关于奇数最简单的问题？现代数学家是如何试图解决这个古老的问题的？
我们对数学完美的追求始于因子(近似值)。我们知道6是12的除数，因为12/6 = 2，25是100的除数，因为100/25 = 4。我们说过，我们知道一个数等于它的因子之和(除了它本身)。我们也可以把一个数定义为完全数，即它的所有因子(真因子和假因子)之和是这个数的两倍。根据这个定义，我们可以看到28仍然是完美的:它的真约数是1，2，4，7，14，它的假约数是28，所有约数之和1 2 4 7 14 28是56，也就是2 × 28。这对于我们将要做的所有代数运算都非常方便，我们很快就会看到。
整数等于它的因子之和，所以数学家把它变成一个函数来简化问题。我们定义σ(n)为n的因子之和，我们已经知道σ(28)= 56。其他一些例子有:σ(1) = 1，σ(6) = 1 2 3 6 = 12，σ(10) = 1 2 5 10 = 18。注意，6是一个完全数，因为σ(6) = 2 × 6，但1和10不是。正如我们将看到的，这个函数σ有一些特殊的性质，非常适合研究完全数。
我们得到了完全数的基本定义和一个新的数学工具来帮助我们找到它们。我们应该从哪里开始找？我们将从质数开始。
根据定义，一个质数只能被它自己和1整除。这使得计算素数的σ相当容易:σ(2)= 1 ^ 2 = 3，σ(3)= 1 ^ 3 = 4，σ(5)= 1 ^ 5 = 6，σ(7)= 1 ^ 7 = 8。一般来说，对于任意素数p，σ(p) = 1 p。
质数是完美的吗？σ(p) = 1 p = 2p .代数的一些知识告诉我们，p = 1时成立，但是从定义上来说，1不是素数，所以没有一个素数是完美的。我们已经知道质数不可能是完美的。接下来会发生什么？
素数的幂——像2 ^ 4、5 ^ 3或11 ^ 36这样的数——是一个好方法，因为它们的因子易于组织。考虑一个质数幂，比如16或2 4。2 ^ 4的除数是2 ^ 0到2 ^ 4的幂:2 ^ 0 = 1，2 ^ 1 = 2，2 ^ 2 = 4，2 ^ 3 = 8，2 ^ 4 = 16。所以σ(24)可以这样计算:
一般来说，对于任何素数p，σ(p ^ n)为:
这就是所谓的几何级数。几何级数求和有一个很好的公式:
因为几何级数公式，我们不需要列出p ^ n的所有因子来计算σ(p ^ n)。我们可以使用这个公式:
例如，我们计算出:
我们还可以计算其他素数幂的σ，例如:
注意，这些素数幂不满足完全数的条件:σ(2 ^ 4)≠2×2 ^ 4，σ(3 ^ 3)≠2×3 ^ 3，σ(11 ^ 2)≠2×11 ^ 2。事物需要σ ((p n) = 2p n才能得到一个完全数，也就是说:
我们可以从等式两边减去p n，得到:
现在，我们用等式左边的等比级数求和公式:
我们得到:
不等于p n .因此，素数的幂并不是完美的。
没有完美的素数，也没有完美的素数幂。什么是完美？我们知道28是完美的，它是两个素数幂的乘积，28 = 2 ^ 2×7。
任何不是素数或素数幂的数都可以写成不同素数幂的乘积。这些因式分解，加上σ函数的一个特殊性质，可以帮助我们判断一个数是否完美。
我们已经知道σ(28) = 1 2 4 7 14 28，但是让我们仔细看看这个和。注意最后三个数字都是7的倍数:
我们可以提出7来揭示一些隐藏的结构:
利用一些更聪明的因式分解和分布定律，我们可以写出:
这并没有告诉我们什么新的东西，只是证明了28是完美的。但是在这个乘法中隐藏着一些重要的东西:
括号里的表达式看起来很熟悉:1 2 1 2 2 = σ (2 2)，1 7 1 = σ (7 1)。这意味着:
要计算σ(28)=σ(2 ^ 2×7)，我们实际上可以计算σ(2 ^ 2)和σ(7)并相乘。这是令人惊讶的，而且通常是正确的:任何时候一个数被分解成这样一个质数，你都可以用这个捷径来计算σ。例如，由于100 = 2 ^ 2×5 ^ 2，我们可以这样计算σ(100):
这比把100的9个因子列出来再加起来容易。
为什么会这样？一个数的因数来自它的质因数。再考虑28，它是2 ^ 2和7的乘积，然后考虑下面的乘法表:
上半部分是2被28整除的幂，下半部分是7被28整除的幂。注意当我们填写乘法表时会发生什么。
得到28的所有因子。因为28的每一个因子都是2 ^ 2和7的因子组合，也就是因式分解中28的素数幂。
现在将乘法表与表达式进行比较:
使用分配法则:
换句话说，(1 2 4)( 1 7)正好是σ(28)。但是(1 2 4)( 1 7)也是σ(22)σ(7)。所以例子σ(22)σ(7) = σ(28)演示了一个关于σ的非常有用的事实:在数论的语言中，这个函数是“乘法的”。这意味着当值A和B是质数时，σ(ab) = σ(a)σ(b)，这意味着它们没有公因数。
这是σ的一个特殊性质，非常适合我们研究完全数。两千年前，欧几里得利用这个事实创造了一个寻找完全数的公式。在这个过程中，他迈出了确定每一个完美数字的之一步。让我们看看他是怎么做的。
首先，请注意，对于2的任意次方:
这就是我们前面讨论的几何级数公式的结果。现在考虑下面这个思维实验:如果2k 1-1是一个质数会发生什么？
因为σ(p) = 1 p对于任何素数，我们知道σ (2 (k 1)-1) = 1 2 (k 1)-1 = 2 (k 1)。请注意，2^(k 1)正好是2 k的两倍。在数字2 k和2^(k 1)-1之间，有以下关系:
并且:
欧几里得找到了一种巧妙的方法来利用这些关系。他把这两个数放在一起，使得m = 2 k× (2 (k 1)-1)。只要(2 (k 1)-1)是素数，这个数就是完美的。为了更清楚地看到这一点，我们将计算σ(M ),并表明它等于2M。
首先注意，2^(k 1)-1比偶数小1，所以一定是奇数。这意味着2^(k 1)-1不能被2整除。但是2 k只能被2的幂整除。所以2 k和2^(k 1)-1没有公因数，所以是互质的。这允许我们使用σ的乘法性质:
我们已经知道σ (2 k) = 2 (K1)-1，σ (2 (K1)-1) = 2 (K1) = 2× 2 k，所以我们可以得到σ(M):
所以m = 2 k× (2 (k 1)-1)是完美的。
记住，这是基于2^(k 1)-1是一个质数的假设。这些数字被称为梅森素数，你可能听说过它们，因为互联网梅森素数搜索(GIMPS)，这是一个在线协作计算项目，旨在找到巨大的梅森素数。多亏了欧几里德的证明，每当发现一个新的梅森素数，就意味着也发现了一个新的完全数。
比如2 ^ 5-1 = 31是一个梅森素数，那么2 ^ 4(2 ^ 5-1)= 16×31 = 486就是一个完全数。另外，2 ^ 2-1 = 3是一个梅森素数，所以2 ^ 1(2 ^ 2-1)= 2×3 = 6是完美的。而2 ^ 3-1 = 7是一个梅森素数，所以2 ^ 2(2 ^ 3-1)= 4×7 = 28是完美的。
你可能已经注意到所有这些完美数都是偶数。这是有意义的，因为只要k[/s2/]
