麦克斯韦方程组详解(最美物理公式综合解析:麦克斯韦方程组)
很早以前，人们就发现了电荷和磁铁之间存在作用力，但一开始人们并没有把这两种作用力联系起来。后来人们发现有些被闪电击中的石头会有磁性，于是推测电和磁可能有某种关系。直到奥斯特、法拉第等人的努力，人们才终于认识到电和磁的关系是密不可分的。人们用磁铁制造发电机，用电流制造电磁铁。
然而，电和磁之间最深刻的物理关系是由麦克斯韦揭示的。麦克斯韦通过一组四个方程解释了宇宙中最深刻的力——电和磁的关系，统一了电场和磁场。麦克斯韦方程组自诞生以来就被认为是世界上最美的物理公式。
本文将带你了解麦克斯韦方程组的发现过程和具体意义。在这个过程中，需要引入一些数学基础。虽然大多数人很难理解这个过程，但是当你真正理解麦克斯韦方程组的时候，你会和我一样惊叹于它的和谐与美好。
河长线1758年，法国物理学家库仑首先研究了电荷间的作用力，提出了库仑定律:两个电荷间的作用力与电荷的乘积成正比，与电荷间距离的平方成反比。
此后，科学家们一直在争论电荷之间相互作用的方式:有人认为电荷之间的相互作用不需要时间和空，一个电荷会在瞬间作用于另一个电荷，这就是所谓的“距离作用”。
随着科学的发展，远距离作用的观点越来越受到怀疑。最后，英国科学家法拉第提出了“电场”的概念。
法拉第认为电荷周围有一种物质，看不见摸不着，但它是存在的，可以在空之间传递。当电场传递给另一个电荷时，会对另一个电荷产生作用力。反过来，第二个电荷会产生一个电场，它会对之一个电荷作出反应。也就是说，电荷之间的作用是通过电场传递的。
1851年，法拉第还创造性地提出了一种描述电场的方法:用一组带箭头的曲线来表示电场，曲线的切线方向表示电场的方向，曲线的密度描述电场的强度。例如空之间一个正电荷和两个正负电荷形成的电场如下:
这种描述场的方法叫做“场线”，既可以用来描述电场，也可以用来描述磁场。人们可以用各种方法模拟磁力线。比如法拉第用磁铁周围的铁屑模拟出了磁感应线。
场线为人们以后研究许多问题提供了方便。
电磁学、磁学和电学之一个发现电和磁之间关系的人是丹麦物理学家奥斯特。
1820年，奥斯特在给学生上课时，不小心把一根直导线放在了一根小磁针的上方。他惊讶地发现，小磁针被偏转了！在场的学生都没有发现这个惊人的现象，只有奥斯特对这个发现感到兴奋。
奥斯特经过仔细研究，提出了电流对小磁针的作用方式。从我们今天的角度来看，奥斯特其实是阐明了在导线周围存在一个以导线为中心的环形磁场。后来科学家安沛指出了判断磁场方向的方法:右手螺旋法则。
当奥斯特发现电流可以产生磁场的消息传遍世界的时候，英国的法拉第刚满30岁，他还在化学家大卫手下工作。很多人怀疑大卫嫉妒用各种方法打压法拉第，比如强迫法拉第做光学研究。直到1829年大卫去世，法拉第才开始研究他感兴趣的电磁问题。
法拉第认为:既然电流能产生磁场，那么磁铁也应该产生电流。因此，法拉第进行了一系列的物理实验，终于在1831年发现了电磁感应现象。
两根不同的导线缠绕在一个铁环的两侧。当电流流过之一根导线时，电流也流过另一根导线。法拉第解释说:这是因为之一回路的电流发生了变化，产生的磁场也发生了变化，变化后的磁场可以产生电流。
我们也可以做这个实验:将一块磁铁插入一个螺线管，螺线管与一个安培计相连，你也会发现安培计上有读数。这也满足了法拉第所说的“在运动变化的过程中，磁场可以产生电流。”
通过奥斯特和法拉第的发现，人们认识到电和磁并不是分离的，而是密切相关的。有些人甚至认为电和磁似乎是同一个问题的两个方面。
麦克斯韦方程组的数学基础1860年，比法拉第小40岁的年轻科学家麦克斯韦来到法拉第。他把自己之前发表的论文《论法拉第的力线》提交给了法拉第。法拉第喜出望外，对麦克斯韦说:你不要局限于用数学来解释我的观点，要有创新。
在法拉第的鼓励下，麦克斯韦进一步发展了自己的观点，最后总结成由四个方程组成的麦克斯韦方程组。为了理解这四个方程，我们首先需要两个数学运算:通量和路径积分。
之一个概念是通量。如果电场E垂直穿过平面S，我们称电场E和面积S的乘积为电场通量。如果电场E与平面S的法线成一定角度，我们可以将电场正交分解，然后将垂直于平面的分量乘以面积，得到电场通量。
因为电场E可以用电场线的密度来表示，所以面积S乘以电场E实际上就是表示穿过这个面的磁感应线的数量。如果不同地方电场不一样，就要把区域分成无限个部分，把每个小部分的电场通量加起来。
数学表达式是:
同样，当磁场穿过一个表面时，磁通量也可以用同样的方式定义。用整数符号书写:
第二个概念是路径集成。如果电场E沿着路径AB的方向，用电场E乘以路径AB的长度L，就得到路径积分。如果电场E与路径AB方向成一定角度，则电场分解，沿AB方向的场分量乘以路径长度l，磁场有类似的路径积分。
如果各处电场或磁场不同，我们可以把路径AB分成无限个部分，把每个部分的路径积分加起来，表示为:
注意路径不一定是直线，沿着曲线有路径积分。
麦克斯韦方程组好了，现在我们知道了向量可以计算通量和路径积分。所以我们可以理解这四个伟大的方程。
1.电场的活动
麦克斯韦方程组的之一个方程在数学上表达了法拉第的之一个观点:电荷会在空周围产生电场。正电荷会向外发射电场线，负电荷会从周围吸收电场线。电荷越大，发射或吸收的电场线就越多。
如果我们用一个封闭的表面包围一个电荷，那么这个封闭表面上的电场通量就代表电场线的数量。因为这些电场线是由曲面中的电荷发射出来的，与曲面中所有电荷的代数和成正比。需要注意的是，无论我们选择什么形状的曲面，只要它周围的电荷相同，它的电通量就相同。如果电荷在封闭表面之外，它发出的电场线不仅会穿透表面，还会穿透表面，因此对表面的电通量没有贡献。因此，方程中考虑的电荷量是表面内部的电荷。
按公式书写
在这个公式中，等号左边的部分代表封闭表面上的电通量，即通过该表面的电场线的数量，等号右边的σ q代表该表面上电荷的代数和，ε0称为真空介电常数。这个方程是麦克斯韦方程组中的之一个方程，也就是高斯电场定律。这个方程告诉我们，电场是一个活动场，它的来源是空之间的电荷。
2.磁场的无源性
与电场不同，无论是磁铁产生的磁场，还是电流产生的磁场，磁感应线始终是闭合的。磁感线既没有起点，也没有终点。例如，我们在观察通电螺线管的磁场时会发现这个特征。
所以，如果我们在空空间做一个封闭的面，那么磁感应线的通量为零，因为它要么 *** 透这个面，要么一定要穿透进出这个面。
这样，麦克斯韦方程组的第二个方程可以写成:
这个方程叫做高斯磁场定律，告诉我们磁场是被动的，既没有起点也没有终点，永远是封闭的。
磁场的3回路积分
麦克斯韦方程组的第三个方程是解释法拉第电磁感应定律。
例如，当磁铁靠近线圈时，线圈中会产生感应电流。法拉第等人认为这是因为磁铁靠近时线圈中的磁通量发生变化，产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
经过麦克斯韦的思考，他提出了一个假设:电动势的产生是因为一个电场推动电荷，所以变化的磁场可以产生涡旋电场。如果导体恰好处于涡流电场中，导体中就会产生感应电流。此外，该涡流电场的大小与磁通量的变化率成比例。
因此麦克斯韦写下了第三个方程:
方程的左边表示沿闭合路径的电场路径积分，可以表示这个闭合路径上的电动势。而右边显示的是磁场变化率的表面通量，也就是磁通量的变化率。
这个方程从数学上解释了法拉第电磁感应定律的成因，也可以描述为涡旋电场。
4.磁场的路径积分
从奥斯特时代开始，人们就意识到电流周围存在磁场，磁感应强度与电流成正比。麦克斯韦用数学表达式写下了这个特征:
左边的等号代表任意闭合路径上的磁场路径积分，右边代表这个闭合路径所包围的电流之和。
然而，麦克斯韦的思想并不仅限于此。麦克斯韦认为:既然变化的磁场可以形成涡旋电场，那么变化的电场自然可以形成磁场。比如电路中有一个电容，在电容充放电的过程中，导线周围有一个磁场。电容器中的电场会发生变化，其状态应该等于电流的状态。然后麦克斯韦提出了位移电流的概念:变化的电场相当于电流。
最后，麦克斯韦写出了第四个方程:
左边的等号代表沿任意路径的磁场路径积分，右边的μ0代表真空磁导率，I代表电流，ф代表该路径上的封闭电场通量。这个方程表明，电流和变化的电场都能产生磁场。
麦克斯韦的预言麦克斯韦方程组是人类历史上最美的物理方程组，具有很强的对称性和自洽性。它告诉我们，电场和磁场不是单独存在的，而是统一在电磁场中的。
不仅如此，麦克斯韦还通过计算证明:如果真空中存在振荡电场，那么在振荡电场的周围会产生一个磁场，这个磁场会进一步产生一个电场...如此往复，电磁场可以传播很远，形成电磁波。
麦克斯韦计算了电磁波的速度，发现真空中电磁波的速度正好等于光速，于是大胆预言光是电磁波。
至此，经典物理达到了极致，物理学家的信心大大膨胀。以至于1900年物理学家聚会时，开尔文爵士自豪地宣称，物理学的大厦已经基本建成，后人只需要做一些修修补补。
可惜麦克斯韦并没有亲自证实它预言的电磁波。1879年，麦克斯韦去世，享年48岁。同年，现代物理学最伟大的科学家爱因斯坦刚刚诞生。
在麦克斯韦之前，最伟大的物理学家是牛顿，因为他的万有引力定律统一了天地，他证明了月亮和苹果满足同样的物理定律。麦克斯韦之后最伟大的物理学家是爱因斯坦，因为他的狭义相对论和广义相对论统一了时间和空，让人们认识到世界其实存在于统一的时间空。在牛顿和爱因斯坦之间，最伟大的物理学家是麦克斯韦，他的方程统一了电场和磁场，他预言的电磁波成为现代最重要的通讯手段。即使是爱因斯坦的相对论，也有一部分是为了处理麦克斯韦方程组的协变性。
有些人虽然寿命不长，但他们的光辉思想却永远留在人间。
麦克斯韦
