不定方程的解法，什么叫不定方程

解不定方程更佳 ***

之一种:枚举法。枚举法在很多地方都会用得上。比如说计数,找规律等,虽然效率不是很高但适用范围比较广。这种 *** 适用于一些系数比较大的不定方程。因为系数比较大,出现的可能性就比较少,所以可以利用枚举的 *** 来解答。比如说求这个不定方程的解,7x+2y=24(x、y均为自然数)。因为x前面的它的系数比较大,所以说x的取值范围相对来说会比较小。因为x、y都属于自然数,x更大是3,最小是0。也就是说,x有可能等于0、1、2、3,最多就这4种情况,我们可以把这些x的值分别代入这个方程中解出y的值。我们会发现x=1和x=3这两种情况是不成立的。

第二种 *** ,奇偶性分析。奇偶分析在解题过程中有重要作用照样以上面的例题为例,我们用奇偶分析来帮助我们缩小x的取值范围。两个数的和等于24,是一个偶数。2y也一定是个偶数,所以说7x的值一定是个偶数。7是奇数,所以说x只能是偶数。那么x又是从0~3,那么所以说x只能是0或者2这两种可能。最后算出有两组答案:x=0,y=12x=2,y=5。

不定式的解法过程

①整除法

【适用条件】：方程后边的常数项与前边某一未知数系数具有相同整除特性。

例题：3x+7y=33，已知x，y为正整数，则x+y=(7)

②奇偶法

【适用条件】：方程中未知数系数以一奇一偶形式存。

注：奇数±奇数=偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数*偶数=偶数*奇数=偶数

例题：3x+2y=34，若x为质数，则x=(2)

A.2B.3C.5D.7

③尾数法

【适用条件】：方程中未知数系数出现以0或5结尾的数字考虑用尾数法。

例题：3x+10y=41，x、y均为正整数，则x=(7)A.1B.3C.5D.7

④结合选项代入法

【适用条件】：通过整除、奇偶或尾数法排除部分选项后还不能确定正确选项，余下选项通过代入排除确定最终选项。

例题：22x+35y=1281，且x、y均为正整数，则x=(28)A.21B.28C.30D.38

⑤同余特性

注：余数的和决定和的余数，余数的积决定积的余数。

例题：7a+8b=111，已知a，b为正整数，且agtb，则a-b=()

⑥特值法

【适用条件】：能够列出不定方程组，求n(x+y+z)=?时考虑有特值法解题

七年级不定方程常用六大解法

1、整除法

应用环境：方程后边的常数项与前边某一未知数系数具有相同整除特性。

例题：3x+7y=33，已知x，y为正整数，则x+y=()

A.11B.10C.8D.7

答案：D。解析：题目方程有两个未知数一个独立方程，因此为不定方程。不定方程等式后边常数项33与前边某一未知数x的系数3有公共的约数3，即同时能被3整除，因此7y一定能被3整除，y一定能被3整除。因为x，y为正整数，当y=3，x=4，x+y=7符合题意当y=6，x非正整数，不符合题意。因此本题正确选项为D。

2、奇偶法

应用环境：方程中未知数系数以一奇一偶形式存。

注：奇数±奇数=偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数*偶数=偶数*奇数=偶数

例题：3x+2y=34，若x为质数，则x=()

A.2B.3C.5D.7

答案：A。解析：题目中方程有两个未知数一个独立方程，因此为不定方程。不定方程某一未知数y的系数2为偶数，则2y一定是偶数，常数项34是偶数，则3x一定是偶数，3非偶数则x一定为偶数。又因为x是质数，则为唯一的偶质数2。正确选项为A。

3、尾数法

应用环境：方程中未知数系数出现以0或5结尾的数字考虑用尾数法。

例题：3x+10y=41，x、y均为正整数，则x=()

A.1B.3C.5D.7

答案：D。解析：题目中方程有两个未知数一个独立方程，因此为不定方程。不定方程未知数y出现以0结尾的系数，10y的尾数为0，41尾数为1，则3x尾数为1，因此x尾数为7。结合选项选择D项。

4、结合选项代入法

应用环境：通过整除、奇偶或尾数法排除部分选项后还不能确定正确选项，余下选项通过代入排除确定最终选项。

例题：22x+35y=1281，且x、y均为正整数，则x=()

A.21B.28C.30D.38

答案：B。解析：35y尾数为0或者5，因为22x为偶数，常数项1281为奇数，所以35y一定为奇数，即35y尾数一定为5，所以22x尾数一定为6，得x尾数为3或者8，结合选项排除AC。把B项带入方程得y=19符合题意。验证D项，把x=38带入方程，y为非整数，不符合题意。正确选项为B项。

5、同余特性

注：余数的和决定和的余数，余数的积决定积的余数

例题：7a+8b=111，已知a，b为正整数，且agtb，则a-b=()

A.2B.3C.4D.5

答案：B。解析：因为7a能被7整除，111除以7的余数为6，所以8b除以7的余数为6，即b除以7的余数为6，则b可以为6、13等等，因为a、b皆为正整数且agtb，则b只能等于6，得出a等于9，a-b=3。正确选项为B项。

6、特值法

应用环境：能够列出不定方程组，求n(x+y+z)=?时考虑有特值法解题。

希望各位考生在做题过程中并非只能使用一种 *** ，如果符合使用条件，可多 *** 结合解题。通过上面的讲解相信大家对方程思想尤其是不定方程有了更深的认识，希望同学们后续多加练习快速掌握，为后期解决类似题目奠定基础。

什么叫“不定方程”啊

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程(indeterminateequation)是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、 *** 数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

一次不定方程：

二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中a，b，c是整数，ab≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的更大公约数整除c。

多元一次：

关于整数多元一次不定方程，可以有矩阵解法、程序设计等相关 *** 辅助求解。

二元二次：

二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线（即圆锥曲线）的有理点或整点问题。

高次：

对高于二次的不定方程，相当复杂。当ngt2时，x^n+y^n=z^n没有非平凡的整数解，即著名的费马大定理，历经3个世纪，已由英国数学家安德鲁·维尔斯证明完全可以成立。

多元高次不定方程

多元高次不定方程没有一般的解法，任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程，如利用二次

域来讨论一些特殊的不定方程的整数解．常用的解法

⑴代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

⑵不等式估算法：利用不等式等 *** ，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

⑶同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

⑷构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

⑸无穷递推法。

不定方程的基本概念

不定方程是指含有未知数的方程，其中未知数可以取任意整数或有限个整数值。不定方程的解是指满足方程的整数解 *** 。解决不定方程的 *** 包括穷举法、代数法、模运算法等。不定方程在数论、代数和计算机科学等领域中有广泛应用，例如在密码学中的离散对数问题和模反演问题中。研究不定方程的性质和解法对于解决实际问题和推动数学发展具有重要意义。