超几何函数
整整100年前，1920年4月26日，长期饱受病痛折磨的斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）离开了人世，享年32岁。但在他短暂的一生里，他在数学领域留下了无穷的宝藏。
拉马努金的贡献不胜枚举。在此，我们试着用一些具有代表性的数学式，简单勾勒出这位天才数学家传奇的一生。
初入数学圈
○ 拉马努金在《印度数学学会期刊》上于1911年最早发表的问题之一。
1887年12月22日，拉马努金出生在印度一个贫穷的家庭。在印度，他并没有机会接受系统的数学教育。他凭借着惊人的天赋和对数学的热情，在最艰苦的条件下发展出了自己独特的方法理解数学。
1910年，拉马努金有机会认识了印度数学学会的创始人V. Ramaswamy Aiyer。他向Aiyer展示了自己数学笔记，Aiyer被拉马努金的天赋所震撼，他将拉马努金介绍给了当时印度的一些数学家。
在1911到1919年间，拉马努金向《印度数学学会期刊》提交了共58个问题。这些问题的难度范围非常广，其中有的问题非常基础，借助基本的高中数学知识就能解出，但有的问题的解法则需要大量高难度的分析，还有一些问题甚至仍然没有被完全解出。
对大多数期刊的问题栏目来说，期刊编辑通常更倾向于刊登其他人的解法，而不是出题者自己的解，除非没有其他人能解出这个问题，或者提问者本身的解法非常完美。《印度数学学会期刊》也不例外。拉马努金提出的问题有些是由他本人给出了证明（或部分证明），有些则是由其他人提出了一些解法。
上面黑板中的两个问题其实可以被归纳成一个更普遍的无穷根号嵌套问题：
在问题发表后，拉马努金本人给出了有关无穷根号嵌套问题的一些证明，但他的证明尚不完善。后来，另一位印度数学家Tirukkannapuram Vijayaraghavan证明了拉马努金步骤的正确性，同时完善了无穷数列收敛的充分条件。拉马努金这种天才的直觉一直引领着后来的数学家，挖掘出了更深层的数学规律。
与哈代相识
○ 拉马努金在给哈代的信中提到的无穷级数的等式。
对拉马努金来说，真正给他机会深入数学研究领域，并改变了他一生的人，是同时代另一位大数学家——哈代（G. H. Hardy）。
哈代曾说，他和拉马努金的相识是“生命中一场浪漫的意外”。1913年，拉马努金在朋友的鼓励下，给三位剑桥大学的教授写了信，并邮寄了一些自己的数学手稿，哈代便是其中一位。起初，面对这份从大洋彼岸寄来的无名数学家的手稿，哈代也曾认为这可能是个骗局。但在仔细阅读过手稿后，他被其中一些公式震惊了。
这些手稿几乎没有证明，相关的解释也往往很不充分，但许多内容都让哈代深深折服。手稿中的一些公式对哈代来说并不陌生，比如上图中的第一个等式已经在1859年由Bauer证明。但另外还有一些让哈代觉得不可思议。上图中的第二个等式来源于一类名叫超几何级数（hypergeometric series）的函数，欧拉和高斯都曾研究过这类函数。但拉马努金的结果似乎更加吸引人。此外，手稿中还有一些有关质数分布的问题，其实也存在着明显的错误。但瑕不掩瑜，哈代对这位来信的数学家产生了好奇。
哈代与合作者利特尔伍德（Littlewood）商量后，两人一致同意，来信的这位寂寂无名的数学家有着惊人的数学天赋。
很快，哈代给拉马努金回了信，表示了对他的工作的兴趣，并希望看到更多有关公式的证明。他也开始着手安排拉马努金前往剑桥学习和研究。自此，拉马努金才真正有机会接受正统的数学教育，探索更广阔的数学世界。
剑桥时光
○ 拉马努金与哈代共同发现的分拆数的渐进式。
1914年，拉马努金启程前往剑桥，他和哈代之间的合作正式开始。虽然拉马努金之前欠缺一些最基本的训练，但天赋和勤奋很快弥补了这种不足。在剑桥将近5年的时间里，他和哈代共同创造了无数宝贵的数学财富。
数学家、电影《知无涯者》的顾问Ken Ono曾说，拉马努金是一种榜样，他从最艰苦的条件中走了出来，这实际上也离不开哈代的帮助。哈代或许算不上是一位非常完美的导师，他脾气乖戾，却和拉马努金之间产生了最奇妙的化学反应，让这一切成为现实。
他和哈代共同发现了分拆数公式，解决了困扰数学界几个世纪的整数分拆问题。因为这些研究，再加上哈代的竭力举荐，拉马努金被提名为英国皇家学会会员。1918年，年仅30岁的拉马努金成为英国皇家学会有史以来最年轻的会员之一。
○ 拉马努金被提名为皇家学会会员的证明。
有人曾问过哈代，他认为自己在数学领域最突出的贡献是什么。哈代回答，是发现了拉马努金。
无意中的发现
○ “的士数”Ta(n)被定义为，能以n种方式表示成两个立方数之和的最小的数字。
也不是所有问题都是埋头在书桌前得来的，有时拉马努金的直觉在不经意间就能迸发出美妙的火花。拉马努金和哈代之间最有趣的轶事之一就包括了“的士数”的发现。
拉马努金一生都没有摆脱疾病的折磨。由于过于投入工作，在英国，他的健康问题越发严重。一次拉马努金住院时，哈代前往医院看望他。哈代乘坐的出租车的车牌号是1729。哈代在医院告诉了拉马努金这件事，并说这是一个“无聊的数字”。但拉马努金却说1729是个有趣的数字，1729是能用两种方式表示成两个立方数之和的最小数字。
后来，“的士数”这个名字就是为了纪念这个有趣的故事。的士数Ta(n)就被定义为，能以n种方式表示成两个立方数之和的最小数字，1729就是Ta(2)。在拉马努金去世后，哈代和他的合作者证明，对于所有正整数n，Ta(n)都存在。目前，仅仅只有几个的士数被找到了，借助计算机，人们还在努力寻找更多的士数。
天才的猜想
正如的士数的发现，拉马努金最令人称奇的就是他对数字敏锐的洞察力和惊人的直觉。他一生中提出了大量公式，但许多缺乏严谨的证明，因此被称为“猜想”。而许多猜想后来都被证明是正确的，有一些甚至在其他领域获得了更广泛的应用。也正是这些猜想，留给了后人无限的瑰宝，让一代又一代的数学家能够沿着拉马努金开拓的道路继续走下去。
在所有这些“拉马努金的猜想”中，最著名的当属拉马努金τ函数及τ(n)的第三个性质的猜想。
有关τ(n)的前两个性质的猜想已于1917年由Mordell证明。而最后最著名的拉马努金猜想，被菲尔兹奖得主、著名数学家德利涅证明韦伊猜想时同时证明。
后世无限的影响
○ 拉马努金发现的连分数和有关π的无穷级数
1919年，拉马努金拖着病重的身体回到印度。1920年4月26日，年仅32岁的拉马努金逝世。在他去世后，他的家人整理了他留下的手稿，里面包含大量公式，成为后人不断发掘的宝藏。
得知拉马努金去世，哈代非常伤心。哈代在《自然》杂志上发表了讣闻，称拉马努金是“他生活的时代里最伟大的数学家”。
为了纪念这位英年早逝的杰出数学家，人们设立了SASTRA拉马努金奖、ICTP拉马努金奖，分别表彰与拉马努金研究相关领域有杰出贡献的年轻数学家，以及发展中国家做出突出贡献的青年数学家。2019年，以色列高校开发出了“拉马努金机”（Ramanujan Machine），这种算法能够用连分数的形式表示出各式各样复杂的数，选择以拉马努金的名字命名，正是为了表现这种算法的优异和出色。
拉马努金和他的研究就像一处取之不尽的金矿，还有许多等待着发掘。
参考来源：
[1] Berndt, Bruce C., Youn-Seo Choi, and Soon-Yi Kang. "The problems submitted by Ramanujan to the Journal of the Indian Mathematical Society [MR1665361 (2000i: 11003)]." Ramanujan: essays and surveys. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001. 215-258.
[2] https://www.nytimes.com/2007/09/16/books/review/Freudenberger-t.html?pagewanted=print
[3] https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/9064371.html
[4] https://plus.maths.org/content/happy-birthday-ramanujan
[5] https://plus.maths.org/content/celebrating-ramanujan
