自然数（集合数学知识点）

自然数(聚集数学知识点)

你最喜欢的功能是什么？如果你的答案不是伽玛函数，那么你看完这篇文章我再问你。你的答案可能会改变。

在19世纪20年代后期，莱昂哈德·欧拉正在思考如何将阶乘扩展到非整数范围。这是一个被科学界广泛使用的理论的开端。

莱昂哈德·欧拉无疑是历史上最伟大的数学家之一。为了让你对欧拉有个大概的了解，这里举几个例子来证明他的才华。

首先，欧拉记忆力极好。他能从头到尾背诵维吉尔的《埃涅阿斯纪》。埃涅阿斯有9896行。

欧拉也非常多产。他一生发表了约3万页论文，约占18世纪发表的科学论文的三分之一！这些页面中有许多是他失明时写的。所以欧拉被称为数学中的贝多芬。贝多芬听不到他的音乐。同样，欧拉也看不到他的计算。

事实上，欧拉对自己的视力下降相当乐观。他曾经说过这样的话:

所以我不会分心。

事实上，当他失明后，他变得更加多产。

欧拉是一位伟大的数学家，他思考如何扩展阶乘函数。我将向你展示他的研究成果及其惊人的特点。在这篇文章的后面，我将揭示我们如何给1/2！意义并赋予其价值。

在我们继续之前，让我们回忆一下什么是阶乘。

它只是前n个自然数的乘积。

例如:

阶乘在数学中很重要的一个原因是它代表了我们排列事物的方式。假设你的书架上有12本书。你能把它们排列成多少种方式？这个问题的答案是12！大概有4.79亿种方式。

从这个例子可以看出，阶乘函数增长非常快。事实上，它呈指数增长。也就是说，它的增长速度比指数增长还要快。

真正让欧拉伟大的是他解决问题的方式。我们很快就会看到，它通常是一个非常有创意的想法，一个非常聪明的“外星人”的想法。

1738年，欧拉将阶乘扩展到由积分定义的函数形式，即:

其中log是自然对数(有时记为ln)。

通过替换s = exp(-t)，其中exp是以e为底的指数函数，我们得到:

所以我们得出了一个惊人的事实:

为了证明这个积分实际上是阶乘，我们称右边的积分为π (n)，我们做一些部分积分:

这是一个很好的函数方程，使我们能够用归纳法证明这个公式。

我们要证明π (n) = n！所有自然数n都成立。

首先，请注意:

也就是π (1) = 1 = 1！。

接下来，假设π (n-1) = (n-1)！。然后还有:

这里我们使用上面的函数方程。

通过归纳，证明就完成了。

注意，在π (n)的上述定义中，n不一定是自然数。这个表达式对所有具有非负实部的复数都有意义。

处理这些广义阶乘的现代方法是通过伽马函数。伽马函数与π函数非常相似，其定义如下:

注意，γ (n) = π (n-1) = (n-1)！所有自然数n都成立。

因此，伽马函数也满足类似的函数方程，即:

因此，γ函数是广义阶乘函数γ (n+1) = n！，对所有非负整数n都成立。

但这是唯一的概括吗？答案是否定的，然而，如果我们给它一个约束，结果就是它。这个约束与对数凸性的概念有关，但这里我就不详细描述了，因为这与我要讲的有点跑题。

具体要求是函数logγ是凸的。

二次可微函数f是对数凸的当且仅当:

人们已经找到了函数的许多定义和形式。一个特别好的例子是无穷的乘积。在此之前，让我们试着从我们的定义中得出一些有趣的结果。我们要做的之一件事一开始可能看起来很奇怪，但有时在数学中，你应该在使用直觉的同时尝试并遵循逻辑结果。

我们将把指数函数写成极限形式，代入伽玛函数的定义中。首先，回想一下:

这可以从多方面证明。

回想一下，几何级数有一个封闭的形式:

如果|x|

现在我们可以在两边做进一步的处理:

假设n > x，那么我们可以代入z = x/n。

现在，如果我们取n→∞时的极限，很明显:

有了这个结果，你现在就可以直接计算出想要的结果了。

通过替换，这相当于以下表达式:

现在让我们在γ (z)的定义中使用这个结果:

我们称这个积分为极限内的I(n，z)。多次使用部分积分，我们可以得到:

继续，当我们最终消除1-t/n项的指数时，我们可以积分得到:

为了得到γ (z ),我们取它的极限:

这是一个非常著名的结果，但我们不想就此止步。

让我们对这个极限做一些简单的处理。

这里我们对e的指数加减∑z/i，注意log是自然对数。

现在，我们可以分离指数，并利用指数之和是乘积的事实:

欧拉常数由下式确定:

在上面的表达式中，如果现在取函数的极限，得到一个很漂亮的结果，叫做函数的Weierstrass积。

这是一颗数学明珠。在某种程度上，这是γ的更好的表示，但我们将在后面讨论这一点。

数学中最精彩的方程式之一来自莱昂哈德·欧拉。这次我讨论的不是他著名的欧拉恒等式，而是一个叫做反射公式的公式。

欧拉发现了以下惊人的结果，将伽马函数与三角函数联系起来。

这个事实的证明如下。

回想一下，欧拉也发现了正弦函数的无穷乘积。

想知道欧拉是如何推导出这个乘积的，可以关注“老废话科学”，我会在后续文章中讨论。

回想一下Weierstrass的产品。对于γ，可以写成:

现在通过比较γγ (-z)和γ(-z)的乘积，可以简单的计算出以下。

现在我们可以用函数方程来表示函数。

此外:

很明显，z不可能是整数，因为上面的分母是0。

数学中随处可见伽玛函数。

从统计学，数论，数学中的复分析，到物理学中的弦理论。它似乎是一种数学粘合剂，连接着不同的领域。这是有原因的，我们后面会看到。

数论之所以重要，一个原因是它与黎曼ζ函数有着特殊的关系。

让我们再看一下定义，但这次我们用了替换。设n是自然数。然后通过替换t = nx，我们得到:

因为这适用于所有自然数n，我们可以将两边相加得到:

因此，我们得到ζ函数和γ函数之间的一个奇妙关系:

然而，这只对Re(s) > 1有效。

这是之一种关系。这里有一个更深入更有趣的结果，我认为这是世界上最美的函数方程之一。我会在没有证据的情况下声明:

波恩哈德·黎曼在1859年发现了它，它通过γ函数给出了很多关于ζ函数的知识。

比如在负偶数处，我们可以清楚地看到ζ的平凡零点。这是因为，通过解析地将γ (s)推广到整个复平面，我们可以看到它在非正整数处有极点。

在理论物理中，欧拉还发现了β函数，意大利理论物理学家维尼奇诺在1968年用它来描述具有强相互作用的介子。

欧拉函数可由以下公式定义:

原因是它描述了弦理论中之一个已知的散射振幅。从某种意义上说，这是解决这个问题的唯一办法。也与γ的负整数处的极点有关。

另一个惊人而美丽的结果与伽玛函数的增长有关。这叫做斯特灵公式:

也就是说，上述两边的增长率是相同的，即当z趋于无穷大时，它们的比值的极限趋于1。

在推导γ (s) ζ (s)的积分公式时，我们两边求和，得到一些级数。

欧拉并没有这样做，而是做了一些惊人的事情。他做了一个更一般的代入，最后得出了一个神奇的公式，里面包含了各种有趣的东西。

让我们看看他是怎么做的，这些公式是什么:

在欧拉的时代，人们对复数分析了解不多，但他有一种奇妙的直觉，因为他知道当w为正数时，这个关系成立。他考虑了当w是一个Re(w) > 0的复数时会发生什么。

设w ∈，Re(w) > 0。然后通过将w共轭到上述等式的两边，我们得到:

现在一个绝妙的主意来了！

根据欧拉公式，设w = a+bi，设w为θ，设|w| = r，则w = r exp (θ i)。那么我们可以用一种有趣的方式来写上面的表达式:

这个超级公式包含了很多奇妙的关系，我们很快就会体会到。

最后一步是把它写成对应的实部和虚部(利用举世闻名的欧拉恒等式)，并考虑这两个公式隐藏在符号中。

这些公式美得无法形容！

注意，它们是伽玛函数的推广，因为如果我们让w=1，那么我们就可以从余弦积分方程得到伽玛函数的定义。

这是一个有趣的问题。

找到的值:

这是一个非常著名的问题，有很多方法可以解决，比如拉普拉斯变换，二重积分，甚至费曼技巧。我们将尝试从上面美丽的欧拉公式中推导出来。其实我们会把这个问题推广到更一般的结果，这个积分是特例。

为此，我们先用欧拉反射公式重写sin方程的左侧。我们可以用罗必达定律来证明:

让我们对欧拉正弦积分公式的左边做一点变换:

通过以上计算，我们得到:

因为-π

因此，通过向右取极限，我们得到:

这是一个奇妙的公式。

注意，如果在A趋于0时取极限，那么当所有实数b≠0时，左边趋于π/2。

也就是说，下面的等式成立:

特殊情况下w=i会解狄利克雷积分，因为a=0，b=1。

因此，狄利克雷积分I = π/2。

还有一件重要的事情我们还没有讨论。

回想一下伽马函数的定义:

我们可以证明这个积分只收敛到Re(z)> 0。

但在复分析中，全纯函数和亚纯函数有一个很好的性质，即给定一个定义域为D的函数F，如果存在另一个亚纯函数G，其定义域包含D作为子集。如果f = g在D的开集上(如果不知道这是什么，可以想象复平面上的一个小圆盘)，那么f = g在所有D上都成立。

也就是说，函数f只能以一种方式扩展到更大的域。它只是有不同的表现形式。

所以即使上面的定义是正确的，当z的实部是正实数时，我们需要记住这只是一个函数的表示。

可以说，我们只是从一个角度来看这个函数。

如果我们看一下Willstrasse产品:

我们可以证明它收敛于除非正整数外的所有复数Z。所以这种表示在某种意义上更好。这也表明伽马函数没有任何零点，但在负整数和0处有极点。

还有另一种方法来进一步分析伽马函数。回想一下:

这揭示了:

同样地:

这说明我们可以做一个解析延拓来表示γ的亚纯表示(在非正整数处也可以看到极点)。

因为γ (n+1) = n！这对于所有非负整数N都成立，我们可以通过计算γ (1/2+1) = γ (3/2)给出1/2！意义。

但是我们该怎么办呢？

首先可以用函数方程γ (z+1) = z γ (z)来简化问题。

所以，求γ (1/2)就够了。

在z = 1/2的特殊情况下，我们再次使用欧拉反射公式:

因此，我们现在可以解释:

我再问你一次。你最喜欢的功能是什么？